MathTime

Scriem fiecare paranteza astfel (\frac{a+1}{2}+\frac{2}{a+1}+\frac{a-1}{2}+2b)(\frac{b+1}{2}+\frac{2}{b+1}+\frac{b-1}{2}+2a) \ge (2+\frac{a-1}{2}+2b)(2+\frac{b-1}{2}+2a) . Ramane de demonstrat (3+a+4b)(3+b+4a) \ge 64 . Din CBS, (3+a+4b)(3+b+4a) \ge (3+\sqrt{ab}+4\sqrt{ab})^2 \ge (3+1+4)^2=64 . Egali...

Multumesc frumos tuturor!

La multi ani!

La multi ani cu sanatate!

$|z|=|1+z|=1$...

Demonstrati ca pentru orice numere $a, b, c, x, y, z >0$, are loc inegalitatea
$\frac{ax}{y+z}+\frac{by}{z+x}+\frac{cz}{x+y} \ge \frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}-a-b-c}{2}$.
Marian Dinca, Bucuresti

Fie $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o functie strict crescatoare, cu proprietatea ca
$\frac{1}{x}+f(x) > 0$ si $f(\frac{1}{x} + f(x)) = \frac{1}{f(x)}$,
oricare ar fi $x>0$. Calculati $f(1)$. Dati exemplu de o astfel de functie.

Dati un exemplu de un interval $[a,b]$ inclus in $(0, \infty)$ de lungime mai mare decat $0,09$ cu proprietatea ca $|2187^x-2048^y|<5$, oricare ar fi $x, y \in [a,b]$.
Cristinel Mortici, Targoviste

Fie E \in BC astfel incat CE=CD . Ramane de demonstrat ca AB=BE . Cum m(\angle ECD)=60^{\circ} si CE=CD , atunci triunghiul CDE echilateral, deci DE=CE=CD=AD . Cum m(\angle BCD) +m(\angle BAD)=180^{\circ} , atunci patrulaterul ADCB este inscriptibil. Atunci m(\angle BDC)=m(\angle BAC)=20^{\circ} , m...

Determinati functiile $f:[1,\infty) \rightarrow [1,\infty)$ care satisfac simultan proprietatile
a) $f(x)=\sqrt{xf(x+1)+1}$, oricare ar fi $x \in [1, \infty)$
b) $f(x) \le 2x+2$, oricare ar fi $x \in [1, \infty)$