MathTime

La multi ani!

Demonstrati ca :
$\[ \sum_{cyc}\sqrt[4]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)}{2}}$$\le\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}$$+\dfrac{1}{c+a})$
pentru orice $a,b,c$ reale pozitive.

La multi ani!!!

1.Pt p=2=>m=n=1 Fie p\ge 3 si presupunem fara a restrange generalitatea m>n. \implies p=1 (mod 4) Observam ca: p|(m+n)(m^2-mn+n^2)-4 \implies p|(m+n)mn+4 \implies p|(m^2+2mn+n^2)m^2n^2+8mn(m+n)+16 p|m^3n^3+4mn(m+n)+8 \implies p|m^3n^3-8=(mn-2)(m^2n^2+2mn+4) Daca mn=2 atunci p=5, solutie. Consideram ...

Fie $f(x)\in \Bbb {Z} \rightarrow \Bbb {Z}$ cu proprietatea că $f(f(x))=x+2$ oricare ar fi $x\in \Bbb {Z}$
a)Demonstrați că există $a,b$ intregi astfel ȋncât $a<b$ si $f(a)<f(b)$
b)Determinați funcția știind că ȋn plus, $f(0)<2$ și $f(2014)>2014$

Observam ca: $x(x^2+x-1)=(x^3+2x^2)-(x^2+x)$, de unde $x^2+x-1=0 .$
Obtinem solutiile $x\in \{\dfrac{-1\sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\}$